s = S - s- Richtungsreduktion:
t = alpha - t Also jeweils Ur- minus Bildelement!- Flächenreduktion:
f = F - f- Vergrößerungsverhältnis:
m = ds / dS
Strecken, Richtungen, Höhenunterschiede gemessen auf physischer Erdoberfläche -> beziehen auf Ersatzfläche (mathematisch greifbar) -> GEOID (verlängerte Meeresoberfläche; mathematische Figur der Erde)
Schwerkraft weist in eine Richtung (Schwererichtung), ist aber unregelmäßiger Massenverteilung in der Erde unterworfen -> Geoid ist KEINE REGELFLÄCHE (nicht streng mathematisch modellierbar)
Erdform ähnelt aber einem Rotationsellipsoid, Abweichungen zwischen Ellipsoid und Geoid heißen GEOIDUNDULATION und betragen <100m. Durch diese Unregelmäßigkeiten fallen die NORMALEN (Senkrechten) von Ellipsoid und Geoid nicht zusammen (sind nicht parallel) sondern bilden Winkel -> LOTABWEICHUNGEN. (liegen im Bereich bis etwa 30")
Gemessene Punkte auf der Erdoberfläche -> reduzieren aufs Geoid: Punkte entlang des physikalischen Lotes aufs Geoid projizieren -> Änderung von Strecken und Flächen. PRAXIS: NN-REDUKTION
Geoid teilweise unbekannt und schwer beherrschbar (Stand 1976, heute Modellierung - Potenzreihen etc. siehe APG) -> wegen geringer Abweichungen Reduktionen stattdessen auf BEZUGSELLIPSOID -> Unterscheiden zwischen
a mittleres Ellipsoid
b lokal bestanschließendes Ellipsoid
c konventionelles Ellipsoid
a
ersetzt Erde als Ganzes; Ell.-Mittelpunkt ist Schwerpunkt der Erde; beide Rotationsachsen identisch; Geoid soll sich möglichst gut anschmiegen -> Forderungen:
- Quadratesumme der Lotabweichungen
oder
- Quadratesumme der Geoidundulationen
oder
- Quadratesumme der Schwereanomalien
zum Minimum.
b
ersetzt begrenztes Stück der Erdoberfläche; Rotationsachsen sollen parallel sein; Quadratesumme der Lotabweichungen zum Minimum
c
19. / frühes 20. Jh.; damals verwendet für Landesvermessungen der Nationalstaaten; zB Laplace 1802, Bessel 1841, Clarke 1880
AUFGABE der MG:
- Messungen auf Ellipsoid reduzieren
- ellipsoidische Figuren berechnen
- diese Figuren in die Ebene abbilden
Höhenbezug ist aber nicht Ellipsoid sondern Geoid; Umrechnungen siehe
APG
Rotation einer Ellipse um ihre kleine HALBACHSE; Ellipsoid ist eindeutig bestimmt durch zwei Größen: Halbachsen a und b, in der Landesvermessung meist große Halbachse und ABPLATTUNG f:
f = (a-b) / a
f ist ungefähr 1/300
Außerdem wichtig: EXZENTRIZITÄTEN e und e':
e² = (a²-b²) / a²
e'² = (a²-b²) / b²
beide sind sehr viel kleiner als 1 und wichtig für Potenzreihen
Bessel:
a=6377397m
f=1/299.15
e²=0,00667437
e'²=0,00671922
Hayford, Krassowsky etc. siehe Großmann S.4
Heutzutage wird hierzulande meist Bessel verwendet.
Problem: Punkt auf dem Ellipsoid eindeutig bestimmen!
Möglichkeiten: zB Mittelpunktsgleichung (S.5 [1]), in der Praxis aber nicht gebräuchlich. Stattdessen: Bestimmung über geographische Koordinaten:
LÄNGE und BREITE
Definitionen:
Länge:
Winkel zwischen der Ebene des (definierten, Greenwich oä) Nullmeridians und der Ebene des Meridians, der durch den zu bestimmenden Punkt geht.
Breite:
Unterscheiden zwischen drei Breitendefinitionen! Einzig wichtig: GEOGRAPHISCHE Breite - Winkel zwischen der Ellipsoidnormalen im Punkt und der Äquatorebene. Achtung: Die Ellipsoidnormale geht NICHT durch den Ellipsoidmittelpunkt!
Ebenfalls vorhanden: Reduzierte und Geozentrische Breite (s.S.6-9)
ACHTUNG: Zusätzlich zu Länge und Breite ist oft auch das AZIMUT wichtig!
Definition: Winkel zwischen dem Meridian eines Punktes und der Richtung zu einem zweiten Punkt.
Benötigt zB für die Bessel-Helmertsche Lösung der 1. HA (s. 46)
Man stelle sich das Ellipsoid von der Seite vor und erhält eine Ellipse (s. Bild 3, S. 6). Um diese Ellipse wird nun ein Kreis mit dem Radius a gezogen, der eine umschreibende Kugel repräsentiert.
Der Punkt P hat die ellipsoidische Breite B. Fällt man nun das Lot durch P auf die x-Achse und verlängert dieses nach oben, so schneidet es den Kreis im Punkt P'. Die Verbindung von P' mit dem Koordinatenursprung schließt mit der x-Achse einen Winkel beta ein, die (auf die Kugel) reduzierte Breite.
Man errechnet beta genähert mit der Formel (11) auf Seite 7; der Unterschied zwischen B und beta beträgt höchstens 5,5' (bei B=45°)
Bloße Herumrechnerei, nicht prüfungsrelevant.
Verbindet man im Bild 3 den ellipsoidischen Punkt P mit dem Ursprung, so schließt diese Verbindung mit der x-Achse den Winkel gamma ein, die geozentrische Breite.
Hat aber kaum Bedeutung.
Definition der Krümmung allgemein: Krümmung ist der Kehrwert des Radius. Bei Punkten auf dem Ellipsoid ist entscheidend, in welcher Richtung (Azimut) die Krümmung gesucht ist. Auf der Kugel ist die Krümmung in allen Punkten und in allen Richtungen gleich, aber auf dem Ellipsoid hängt die Krümmung von der geographischen Breite des Punktes UND vom Azimut ab.
Betrachtet man in einem bestimmten Punkt die Krümmung in Abhängigkeit vom Azimut, so ist klar, daß es eine maximale und eine minimale Krümmung in diesem Punkt gibt. Zu diesen beiden extremen Krümmungen gehören die entsprechenden Azimute, die HAUPTKRÜMMUNGSRICHTUNGEN.
Diese beiden Richtungen stehen senkrecht aufeinander; eine ist in Richtung des Meridians, eine senkrecht dazu. Die in Meridianrichtung heißt
MERIDIANKRÜMMUNG, die senkrecht dazu QUERKRÜMMUNG.
Beide hängen von den Ellipsoidparametern a und e UND von der Breite phi ab.
Formeln:
M = ( a*(1-e²) ) / ( 1-e²sin²(phi) )3/2
N = a / ( 1-e²sin²(phi) )1/2
Beide liegen im Bereich des Erdradius (~6370km)
Außerdem ist für viele Berechnungen der Radius der Gaußschen Schmiegungskugel wichtig. Diese Kugel durchdringt das Ellipsoid, liegt also manchmal innerhalb, manchmal außerhalb.
Formel:
RGauß = Wurzel ( M * N )
Hilfsgrößen, für die Rechenaufgaben eigentlich nicht so wichtig.
Trotzdem hier eine Formel:
V² = 1 + e'²cos²(phi)
Zu berechnen:
Die Strecke zwischen zwei Punkten, die auf dem selben Meridian in verschiedenen Breiten liegen.
Zur Vereinfachung berechnet man für beide Punkte den Meridianbogen vom Äquator zum Punkt und berechnet hinterher die Differenz.
Dieses Problem ist NICHT streng lösbar, weil der Ausdruck M*dphi integriert wird und M blöde von phi abhängt. Es gibt daher mehrere Möglichkeiten, anders an die Ergebnisse zu kommen:
a Nachschlagen in Tafeln
Großmann Tafel II, siehe HÜ
b Berechnung über eine Reihe
Die Formel hängt ausschließlich von der Breite phi ab, wenn man die Exzentrizität des Bessel-Ellipsoid als fest voraussetzt:
G = 111120,61962*phi - 15988,63853*sin(2*phi) + 16,72995*sin(4*phi) - ...
(phi in Altgrad) [Gr S. 18}
G ist in unseren Breiten etwa 5900km.
Selten Verwendet, Formel siehe Gr. S. 20
Gesucht: Länge der Strecke s zwischen zwei Punkten, die auf dem selbem Parallelkreis auf verschiedenen Meridianen liegen.
Formel:
s = N/rho * cos(phi) * (lambda2 - lambda1)
Dabei sind lambda1 und lambda2 die Längen der beiden Punkte und phi die Breite.
Hier gemeint: Die trapezförmige Fläche zwischen zwei Meridianen und zwei Breitenkreisen. In der Praxis nicht sehr wichtig.
Ellipsoid ist nur sehr schwach abgeplattet (1:300). Man kann daher in vielen Fällen Kugeln als Ersatzflächen verwenden. (Berechnung auf Kugel ist vielfach einfacher) Für lokale Berechnungen ersetzt man das Ellipsoid durch Kugelausschnitte, die sich dem Ellipsoid an der betrachteten Stelle annähern.
In der Praxis verwendet man im allgemeinen die Gaußsche Schmiegungskugel. (Formel siehe 141) Dabei sollte die zur Berechnung verwendete Breite in der Mitte des Gebietes liegen, in dem gerechnet wird.
Die außerdem bekannte Soldnersche Bildkugel wird nicht mehr verwendet.
In einem Dreieck auf einer Kugel beträgt die Summe der Innenwinkel mehr als 180° bzw. pi. Der sphärische Exzeß ist die Differenz zwischen der Summe und 180° bzw. pi.
Formel:
epsilon = alpha + beta + gamma - pi
Im allgemeinen kennt man epsilon nicht sondern muß es zuerst ausrechnen, um einen der drei Winkel zu erhalten. Man errechnet epsilon dann nach der Formel:
epsilon = F / R²
wobei F die Fläche des Dreiecks und R der Radius der Gaußschen Schmiegungskugel ist. DAbei kann es vorkommen, daß die Fläche des DReiecks ebenfalls unbekannt ist und über die Formel
F = a * b * sin(gamma)
ausgerechnet werden muß. Falls dann noch gamma unbekannt ist (alpha und beta sind bekannt), kann man iterativ rechnen:
- gamma = 180° - (alpha + beta)
- F = a * b * sin(gamma)
- epsilon = F / R²
- gamma = 180° + epsilon - (alpha + beta)
- F = ....
Solange bis F und epsilon sich nicht mehr ändern.
Größenordnung für epsilon:
Bei Dreiecken mit einer Seitenlänge von etwa 50 Kilometern beträgt epsilon ungefähr 5".
ACHTUNG: Bei der Berechnung von Epsilon immer auf die richtige Winkeleinheit achten (°, gon, rad)! Epsilon wird in der Formel epsilon = F / R² im Bogenmaß berechnet. Unbedingt noch mit rho (200/pi) multiplizieren!
Ziel:
Berechnen einer unbekannten Seite im sphärischen Dreieck aus einer anderen Seite und zwei Winkeln. Gebraucht wird auch der sphärische Exzeß epsilon.
ANALOGIE zum ebenen SINUSSATZ!
Formel:
a sin ( alpha - (epsilon/3) )
--- = -----------------------------
b sin ( beta - (epsilon/3) )
Ziel:
Andersrum: Berechnung eines Winkels aus einem anderen Winkel und zwei Strecken (ebenfalls analog zum Sinussatz) Der sphärische Exzeß wird hier nicht gebraucht.
Formel:
sin (alpha) a - (a³ / 6R²)
------------- = ----------------
sin (beta) b - (b³ / 6R²)
mit R = Radius der Gaußschen Schmiegungskugel
Relevant: Geographische LÄNGE und BREITE (s.13) sowie das AZIMUT (s.o., Winkel zwischen Ortsmeridian und Richtung zum nächsten Punkt)
(Sehr krümmungsempfindlich)
(zB Soldner, siehe Gr S.32)
Prinzip: Hauptmeridian und Abzissen, metrische Einheiten statt Winkel. Abzissen gehen senkrecht vom Hauptmeridian aus und schneiden sich im 'Querpol'. Senkrecht zu den Abzissen und somit parallel zum Hauptmeridian stehen die sog. geodätischen Parallellen. Diese zeigen nach Definition nach GITTERNORD. Somit ist klar, wozu die Koordinaten dienen: Einfache Abbildung in eine Kartenebene.
Unterschied zwischen Richtungswinkel und Azimut:
Azimut: Winkel zwischen Richtung zum Punkt und Richtung zum Pol
Richtungswinkel: Winkel zwischen Richtung zum Punkt und Gitternord
Unterschied zwischen beiden heißt MERIDIANKONVERGENZ. (gamma)
Bestimmen eines Punktes von einem anderen aus.
Benötigt: Entfernung (Großkreisbogen auf der Kugel) und Azimut bzw. Richtungswinkel (je nachdem, ob vom Pol oder Gitternord aus gezählt wird)
Betrachtet wird die Koordinatenübertragung im Soldnersystem
Gegeben: Punkt P1 mit den Soldner-Koordinaten x und y; Strecke s, Richtungswinkel alpha1
Gesucht: Punkt P2 und Gegenrichtungswinkel alpha2
Lösungsansatz: Formeln aus der sphärischen Trigonometrie für das Dreieck P1-P2-Querpol (Q)
Ergebnisse sind die Formeln (2) und (7) auf Seite 34, (11) auf Seite 35, ohne die Glieder 4. Ordung zusammengefaßt in (12) auf S. 35.
Gegeben: y1, x1, y2, x2
Gesucht: s, alpha1, alpha2
Einfache Umkehrung der Formeln (12); man erhält alles nach (14).
Siehe auch 542
Behandelt Vorwärts- und Rückwärtsschnitt auf der Kugel, ist auch nicht soooo wichtig.
Krummlinige Koordinaten auf der Fläche (Kugel) --> Ebene Koordinaten in einer Karte
Dieses Problem führt freilich zu Verzerrungen (wie beim Plattkloppen eines Stückchens Apfelsinenschale).
Diese Verzerrungen können sich je nach Abbildung in Strecken, Winkeln oder Flächen bemerkbar machen. Je nach Zielsetzung versucht man, eine oder mehrere Verzerrungen möglichst gering zu halten und wählt deshalb diese oder jene Abbildung.
Abbildungen können somit
- streckentreu (längentreu, äquidistant),
- winkeltreu (konform) oder
- flächentreu (äquivalent)
sein, niemals jedoch alles auf einmal, und winkeltreu schon gar nicht - zumindest nicht im ganzen Gebiet. (Kommt später noch als konforme Gauß-Krüger-Abbildung)
Da die Landesvermessung (zumindest damals) zum größten Teil mit Winkelmessungen vonstatten geht / ging, haben freilich winkeltreue Abbildungen Vorrang.
Ausgedacht von Soldner Anf. 19. Jh., zum Zweck der Erstellung von Meßtischblättern 1:5000.
Vorgehensweise:
Hauptmeridian in gleiche Teile teilen, jedes ist 800 Ruten lang (ungefähr 3km)
Ordinaten durch die Teilpunkte legen -> Es entstehen soundsoviele Streifen, die mit zunehmendem Abstand vom Hauptmeridian immer schmaler werden.
Diese Streifen werden so unterteilt, daß praktisch Quadrate entstehen, die in Wirklichkeit aber Trapeze sind, da die Streifen ja schmaler werden. Allerdings ist diese Verjüngung so gering, daß sie selbst 200 Kilometer vom Hauptmeridian entfernt noch in der Kartiergenauigkeit untergeht.
Diese Abb. ist weder flächen- noch strecken- noch winkeltreu. Man muß daher Reduktionen einführen. Hier wird vor allem begründet, warum sich die einzelnen Gebiete in den alten Soldnersystemen maximal 64 westlich und östlich vom Hauptmeridian erstreckten.
Wie oben gesehen, laufen die Ordinaten auf der Kugel zusammen und treffen sich schließlich im Querpol. Um trotzdem rechtwinklige Koordinaten zu erhalten, muß man die Ordinaten wieder 'auseinanderziehen', also mit zunehmendem Abstand vom Hauptmeridian mehr und mehr dehnen. Somit wirkt sich diese Methode am meisten auf alle Strecken aus, die in nord-südlicher Richtung verlaufen, hier mal mit X (Kugel) bzw. x (Ebene) bezeichnet.
Also muß die Abbildung folgende Größen ineinander überführen:
- rechwinklig-sphärische Koordinaten X,Y in rechwinklig-ebene Koordinaten x,y
(wobei bei Soldner gilt: X=x, Y=y!)
- sphärische Strecken S in ebene Strecken s
- sphärische Richtungswinkel alpha in ebene Richtungswinkel t
Um dies zu gewährleisten, werden folgende Reduktionen eingeführt:
- Streckenreduktion: s = S - s
- Richtungsreduktion:
- Flächenreduktion: f = F - f
- Vergrößerungsverhältnis: m = ds / dS
Irrrre Formel! Zu finden im Skript unter [10.3],4
Entfernungsreduktion Gr. S.43 Formel 11 / Skr. [10.3],2
Vergrößerungsverhältnis Gr. S.44 Formel 15 / Skr. [10.3],2
Beide hängen von y ab (dem Abstand vom Hauptmeridian) UND vom Richtungswinkel t!!!
--> Strecken werden in unterschiedlichen Richtungen unterschiedlich gedehnt!
(Diese Eigenschaft hat die Gaußsche Abbildung nicht, s.u.)
Gr. S.46 Formel 20 / Skr. [10.3],5
Wenn man alle Reduktionen angewendet hat und alle Koordinaten und Meßelemente reduziert vorliegen, so gelten in der Abbildung die Gesetze der ebenen Geometrie.
Um die (damals...) teilweise kompliziert zu berechnenden Reduktionen zu vermeiden, beschränkte man die Vermessungsgebiete auf eine Breite, mit der die Reduktionen zu vernachlässigen waren.
Wenn die längsten Ordinaten (y) nicht länger sind als 64 Kilometer, bewegen sich die Reduktionen in engen Grenzen ( s ungefähr 5cm auf einen Kilometer, t ungefähr 5 Bogensekunden). So kam es, daß das ganze Reich in mehrere Gebiete geteilt wurde. Jedes hatte einen Hauptmeridian, und so konnten in jedem Gebiet mit einfachen Rechnungen Koordinaten ermittelt werden.
Grundgedanke: Netze (damals) vorwiegend durch Winkelmessungen bestimmt -> Abbildung eines Gebietes sollte möglichst WINKELTREU sein. Dies ist streng genommen nicht möglich, allerdings sollte die 'Ahnlichkeit im Differentiellen' gewahrt werden. Eine Abbildung, die das schafft, heißt KONFORME Abbildung.
Man geht hier wiederum von rechtwinkligen sphärischen Koordinaten aus, die in die Ebene abgebildet werden müssen. Allerdings werden hier nicht die Abzissen (in Nord-Süd verlaufende Linien) sondern die Ordinaten gedehnt, die in ost-westlicher Richtung verlaufen. (vergleiche GK-Reduktion, etwa beim Polygonzug, MP2)
Somit gilt bei Gauß: X=x, Y=y*soundso...!
Auch hier sind Reduktionen anzubringen:
Vergrößerungsverhältnis:
Gr. S. 49 Formel 8
Find ich nicht, anscheinend Gr. S. 51 Formel 13 oder so...
Gr. S. 52 Formel 16
Gr. S. 53 Formel 18
Recht einfache Berechnungen:
- Auf GK reduzieren
- Nach Formeln ebener Trigonometrie berechnen
Auch wenn bei Gauß die Ordinaten gedehnt werden müssen, wogegen bei Soldner die rechtwinklig-sphärischen Koordinaten 1:1 übernommen werden können, hat die Gaußsche Abbildung einige Vorteile:
- Die Streckenreduktion hängt nicht vom Richtungswinkel der Strecke ab
- Die Richtungsreduktionen fallen ERHEBLICH kleiner aus.
Grundproblem:
Sinnvollste Verbindung zweier Punkte
In der Ebene: Gerade.
Auf der Kugel: Großkreisbogen
Auf dem Ellipsoid: ???
Eine Möglichkeit: Vertikalschnitte
Definition des Vertikalschnitts:
Wir stellen uns vor, wir stehen auf einem perfekt geformten Ellipsoid und schauen vom eigenen Standpunkt P1 zu einem zweiten Punkt P2. Nehmen wir mal, wir schauen dabei durch einen Theodolit, dessen Stehachse genau der Flächennormalen des Ellipsoids entspricht. Wenn wir jetzt P2 anzielen und ein wenig am Vertikalkreis drehen, beschreibt unsere Zielachse eine Fläche, in der P2 auch enthalten ist. Wenn wir jetzt am Fernrohr des Theodoliten einen Laser befestigen und nur durch Verstellen des Vertikalkreises eine Linie in den Boden brennen, die von uns bis zu P2 reicht, dann ist diese Linie ein Vertikalschnitt, die Schnittlinie eines Ellipsoids mit einer Ebene, die die eigene Stehachse und den Zielpunkt enthält.
Jetzt stellen wir uns auf P2 auf und wiederholen dieses Spielchen andersrum. Wir schauen also zu P1 und brennen wieder eine Linie aufs Ellipsoid. Und siehe da: Die beiden Linien sind NICHT identisch!!!
Welche der beiden Linien ist nun die sinnigste Verbindung zwischen P1 und P2?
Antwort: Gar keine. Man nimmt eine sog. GEODÄTISCHE LINIE
(Weiteres Problem: Die Horizontalrichtungen, die auf dem Ellipsoid beobachtet werden, müssen anscheinend noch irgendwie reduziert werden, da sie ja, wie oben gesehen, nicht so recht zusammenpassen. (Lösung folgt später...))
Krümmung:
Krümmung ist der Kehrwert des Radius. Diese einfache Geschichte gestaltet sich bei Kurven im Raum etwas schwieriger, da man zunächst nicht weiß, in welcher Ebene die Krümmung betrachtet wird. Schwierig ist unter Umständen auch, daß sich die Krümmung im Verlauf der Kurve ändern kann. Man muß dann die Krümmung und somit den Krümmungsradius an einem bestimmten Punkt ermitteln.
Man geht folgendermaßen vor, um sich das alles vorzustellen:
Drei Punkte im Raum definieren eine Ebene. (Wer einen Schwenkgrill hat, weiß das.) Betrachtet man eine Kurve im Raum (man stelle sie sich wie einen verbogenen Draht vor), dann kann man sich drei beliebige, recht nahe beieinander liegende Punkte auf dieser Kurve aussuchen und durch diese drei Punkte eine Ebene legen. Diese Ebene heißt Schmiegungsebene, weil die Kurve sich an diese Ebene anschmiegt.
In dieser Ebene liegt auch der Krümmungskreis, also der Kreis, der die Kurve an einem Punkt (zB dem mittleren der drei) am besten annähert. Der Reziprokwert dieses Kreisradius ist die Krümmung der Kurve an diesem Punkt.
Windung oder Torsion:
Noch schwieriger: Man nimmt jetzt zu den drei Punkten von eben einen vierten dazu und errichtet eine Schmiegungsebene durch Punkt 2, 3 und 4. Die beiden Schmiegungsebenen schließen nun einen kleinen Winkel tau ein, den man im Bogenmaß betrachtet. Teilt man diesen Winkel durch das Wegstückchen zwischen Punkt 2 und 3, dann erhält man die Torsion T:
T = dtau / ds
Es gibt natürlich auch Kurven, deren Torsion immer 0 ist. Bsp: Kreis im Raum: Hier fallen alle Schmiegungsebenen zusammen. Solche Kurven liegen folglich über ihren ganzen Verlauf in einer Ebene und sind dementsprechend platt.
Vorab: Definition der Hauptnormalen einer Raumkurve:
Die Hauptnormale einer Kurve an einem Punkt liegt in der Schmiegungsebene einer Kurve und steht auf der Kurve senkrecht. Dabei ist die Hauptnormale ein Vektor mit Richtung und Betrag; für die Berechnung siehe Mathe 3/4.
Anschaulich:
Wenn die Kurve der Verlauf einer Achterbahn ist, fliegt überall entlang der Hauptnormalen die Kotze weg. Mit anderen Worten, die Fliehkraft zeigt immer in Richtung der Hauptnormalen. Kurven mit einer konstanten Krümmung=0 (also Geraden!) haben somit keine eindeutige Hauptnormale.
Nun gibt es nicht nur Kurven, die sinnlos im leeren Raum hängen, sondern auch solche, die zusätzlich auf einer Fläche verlaufen, zum Beispiel auf einem Ellipsoid. Nun hat auch eine solche Fläche an jedem Punkt eine Normale, die senkrecht auf der Fläche steht.
Wenn man jetzt einen Punkt auf der Fläche betrachtet, durch den auch noch eine Kurve geht, dann gibt es an dieser Stelle schon zwei Normalen: Die Flächennormale und die Hauptnormale der Kurve. Diese beiden Normalen schließen einen kleinen Winkel delta ein. Ist dieser Winkel entlang der gesamten Kurve 0, so ist diese Linie eine geodätische Linie.
Anders:
Man betrachtet drei Punkte A, B und C auf dem Ellipsoid. Diese drei liegen ebenfalls auf einer Kurve. Jetzt legt man eine Tangentialebene ans Ellipsoid, so daß Ellipsoid und Ebene sich genau in B berühren. Nun projiziert man die Punkte A und C senkrecht auf die Ebene und betrachtet den Krümmungskreis, den diese drei Punkte auf der Ebene beschreiben. Der Kehrwert dessen Radius ist die sogenannte GEODÄTISCHE KRÜMMUNG. Liegen alle drei Punkte auf einer Geraden, so ist der Radius unendlich, die geod. Krümmung gleich 0 und die Linie eine geodätische Linie.
Die geod. Linie ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Fläche, also auch auf dem Ellipsoid.
Wenn man von einem Punkt auf der Fläche mehrere geodätische Linien gleicher Länge ausgehen läßt und deren Enden verbindet, erhält man einen Geodätischen Kreis.
Wenn man von einer Flächenkurve aus mehrere gleich lange geodätische Linien senkrecht abgehen läßt und deren Enden verbindet, erhält man eine geodätische Parallele.
******************Höllisch kompliziert, lasse ich erst mal weg******************
Allgemein:
Man MISST die Winkel zwischen Vertikalschnittbögen, man RECHNET aber mit geodätischen Linien.
Reduktion: Formel siehe Gr. S. 68 Nr. 6 und 7 / Skr. [7.1],4
Diese ist so gering, daß man da nicht drüber reden muß. (0,1 Nanometer auf 100km)
Formel: Gr S. 69 Formel 20 / Skr. [7.2],3
Diese Reduktion wird nötig, weil die Ellipsoidnormalen windschief zueinander sind und man beim Anzielen eines hohen Punktes woanders hinschaut als beim Anzielen desselben Punktes in tieferer Lage. (Man fährt beim Runterklappen des Fernrohrs NICHT die Flächennormale ab)
a Stehachsschiefe wegen Lotabweichungen
Skr [7.2],2 (LAPLACE-Gleichung)
b Reduktion wegen Unterschied Meereshöhe - Ellipsoidniveau
Offenbar nicht relevant
c, d
Diverse weitere Dinge, werden nicht näher behandelt (zT 'Sache der Erdmessung')
Seeeehr schwierig, siehe Mathe 3/4, Flächenmetrik
Hier zunächst nur allgemeine Ableitung ohne Rücksicht aufs Ellipsoid
Parameterkurven = Länge und Breite.
Hier wird die Fundamentalgröße F zu 0. Konkrete Ergebnisse spare ich mir hier, die folgenden Kapitel sind interessanter!
Hier werden konkrete Koordinatensysteme eingeführt, nämlich
phi, lambda (Breite und Länge);
x, y (rechtw.- ellipsoid. Koord. nach Soldner);
r, phi (Polarkoordinaten)
Für ein allgemeines Bogenelement ds auf einer Fläche mit den Parametern u und v gilt (wenn die Parameterlinien sich rechtwinklig schneiden!):
ds² = Edu² + Gdv²
Zum Beispiel sind in der Ebene E und G gleich 1, und es gilt überall der Pythagorassatz. Auf gekrümmten Flächen sind E und G aber nicht überall gleich. So gilt zB auf dem Ellipsoid:
dS² = M²*dphi² + N²cos²phi*dlambda²
Und M und N hängen immer von der Breite phi ab!!! Also berechnet sich ein solches differentielles Bogenelement überall auf dem Ellipsoid anders. D.h.: Die Berechnung eines ganzen Bogens gestaltet sich ausgesprochen schwierig, weil unendlich viele unendlich kurze Bogenelemente mit unendlich vielen unterschiedlichen M und N aufaddiert werden müssen -> Integration!!!
Ferner kommt bei allen Bögen auch noch das Azimut mit herein, das sich ebenfalls verändert, aber mehr davon später.
Hier sind dafür nur die Formeln wichtig, die den Zusammenhang im differentiellen Steigungsdreieck beschreiben:
dphi cos(A) dlambda sin(A)
------ = -------- ; --------- = ------------
dS M dS N*cos(phi)
Überführung des Soldner-Systems aufs Ellipsoid;
Ordinatenlinien sind geodätische Linien etc., genauer in 51
Auch nicht so doll...
Kommt mir nicht bekannt vor...
Untersuchung, ob die Gaußsche Schmiegungskugel genau genug ist, um Rechnungen auf dem Ellipsoid zu ersetzen.
Ergebnis:
Wenn man in den Richtungen genauer als 0",005 bleiben will, sollten die Berechnungen in einem Umkreis von 150 Kilometern um den Berührpunkt der Gaußschen Schmiegungskugel stattfinden.
(Berührpunkt: Der Punkt, dessen Breite in M und N eingeht, mit denen RGauß berechnet wird)
Ergebnis:
Die Abweichungen sind so gering, daß man ohne Einschränkungen die Berechnungen auf der Gaußschen Schmiegungskugel durchführen kann.
Definitionen:
Erste geodätische Hauptaufgabe:
Koordinatenübertragung von einem Punkt auf einen zweiten mit Hilfe von Strecke und Azimut
Analog: Polares Anhängen in der Ebene
Ziel: Geographische Koordinaten (phi, lambda) des zweiten Punktes sowie das Gegenazimut
Zweite geodätische Hauptaufgabe:
Berechnen von Strecke und Azimuten aus den geographischen Koordinaten zweier Punkte
Analog: Richtungswinkel und Entfernung in der Ebene
Allgemein:
Die Lösung dieser Aufgaben ist äußerst schwierig, weil die Krümmungsverhältnisse auf dem Ellipsoid ja nicht konstant sind sondern mit der Breite variieren. Es gibt eine Vielzahl von Lösungen, die jeweils nur für bestimmte Größenordnungen zu gebrauchen sind. Hierbei gilt eine Entfernung bis etwa 120km als kurz, bis ca. 400km als mittel und bis 20000km (rund um die Erde) als groß. Die meisten Lösungen taugen nur für kurze, höchstens für mittlere Entfernungen.
Man kann die vorhandenen Lösungen im Wesentlichen in vier Gruppen unterteilen:
a
Legendresche Reihen. Daraus entstanden auch die Gaußschen Mittelbreitenformeln, die Lösung nach Schreiber und Schödlbauer u. a.
b
Bessel, Bildung eines Poldreiecks.
c...
(Wird alles im Folgenden konkreter besprochen. Außerdem kommt die Lösung nach Kivioja hier noch nicht vor.)
Gegeben:
Geographische Koordinaten von P1, Länge S und Azimut A1 der geodätischen Linie, die zu P2 führt.
Gesucht:
Geographische Koordinaten von P2, Gegenazimut A2
Legendre hat die oben gezeigten Formeln
dphi cos(A) dlambda sin(A)
------ = -------- und --------- = ------------
dS M dS N*cos(phi)
sowie
dA t*sin(A)
------ = ----------
dS N
integriert und kam auf Reihenentwicklungen nach Taylor. Die Ansätze dafür stehen bei Gr. S. 90, Formeln 4.
Je nach Genauigkeitsanforderung muß man entscheiden, bis zur wievielten Ordnung man die Reihen benutzt, und entsprechend viele Ableitungen bilden. Die so entstandenen Formeln füllen die Seite 93 im Gr., zusammengefaßt im Skr. [9.2],1
Aber:
Wenn man nur noch das Gegenazimut A2 berechnen muß und schon alles andere mühsam bestimmt hat, empfiehlt sich stattdessen der
SATZ VON CLAIRAUT:
N1*cos(phi1)*sin(A1) = N2*cos(phi2)*sin(A2)
Hier ist nämlich nur noch A2 unbekannt, und man kann es durch einfaches Auflösen leicht ausrechnen, anstatt abermals ellenlange Formeln zu bearbeiten.
Rechnerisch das gleiche, nur mit vertafelten Werten
Lösungsweg:
Schreiber baute auf den Legendreschen Reihen auf, allerdings wendete er einen Trick an:
Er zerlegte die Übertragung in zwei Teile, einen entlang des Meridians durch P1, einen zweiten senkrecht dazu, in Richtung P2. Der Trick dabei: Beim ersten Teil ist das Azimut 0, beim zweiten 90°, dadurch fallen in beiden Fällen einige Terme aus den Reihen heraus, da sie cos(A) bzw. sin(A) enthalten, was dann ja 0 wird.
Schödlbauer tat in etwa dasselbe, konnte aber auf die Boltzschen Tafeln zurückgreifen.
Das Problem an der Geschichte: Wie kommt man an die Längen- bzw. Breitenunterschiede?
Da ja in Dreiecken <120km Seitenlänge die Gaußsche Schmiegungskugel benutzt werden darf, kann man die Soldnerschen Übertragungsformeln anwenden (s.24), mit denen man aus S und A die Katheten x und y ausrechnen kann, wobei x auf dem Meridian von P1 liegt und y rechtwinklig zum Meridian zu P2 führt.
(s. Skizze Gr. S. 96, Formeln S. 97)
Man überträgt zunächst die Breite von P1 mit Hilfe von x zum Hilfspunkt Pt, der ja auf demselben Meridian wie P1 liegt. Nun überträgt man von dort aus die Breite mit Hilfe von y und dem Azimut 90° zu Punkt P2. Zuletzt wird die Länge übertragen, was vom Punkt Pt aus geschieht und ebenfalls wegen einiger vereinfachter Glieder etwas angenehmer ist.
Formeln siehe Gr. S. 98, alternativ wiederum Clairaut
Ansatz:
Man betrachtet den Punkt P0, der auf der geodätischen Linie zwischen P1 und P2 liegt und gleich weit von beiden entfernt ist. Dieser hat per Definition die Breite phi0, die Länge lambda0 und das Azimut A0.
Jetzt bildet man formell die Differenzen
phi2 - phi0, lambda2 - lambda0, A2 - A0;
phi1 - phi0, lambda1 - lambda0, A1 - A0;
und kann für alle sechs Taylorentwicklungen aufstellen, wie Legendre das für phi2 - phi1 etc. getan hat.
Wenn man nun die zwei Gleichungen für die Länge voneinander abzieht, fallen die Glieder mit geraden Potenzen heraus, und man erhält einfachere Entwicklungen für
(L2-L0)-(L1-L0)=L2-L1.
Wenn man hingegen je zwei entsprechende Gleichungen addiert, so erhält man Ausdrücke für die Zusammenhänge zwischen den theoretischen Werten phi0, lambda0, A0 und den tatsächlichen Mittelwerten:
phi = (phi1+phi2)/2
lambda = (lambda1+lambda2)/2
A = (A1+A2)/2
Man erhält also die Ausdrücke
lambda - lambda0 = ...
phi - phi0 = ...
A - A0 = ...
mit denen man weiterrechnen kann.
Ziel: lambda2 - lambda1
Formel: Gr. S. 103 F 11 oder Skr. [9.3],2
Ziel: phi2 - phi1
Formel: Gr. S. 103 F 16 oder Skr. [9.3],2
Ziel: A2 - A1
Formel: Gr. S. 104 F 22 oder Skr. [9.3],2
ACHTUNG: Hier werden noch keine kompletten Lösungen dargestellt! Die folgen in 443
Man erhält schließlich
S*sin(A) = ... (Gr. S. 104 F 24 - 26)
S*cos(A) = ...
A = ...
wobei rechts noch einige Koeffizienten vertafelt werden (F 28)
Damit hat man die 2. HA schon fast gelöst. Man muß nur noch S und A aus den beiden oberen Gleichungen herausziehen, nämlich nach der Formel
S*sin(A)
tan(A) = ---------- --> A
S*cos(A)
und
S = Wurzel (Zähler² + Nenner²)
Allerdings ist A nur das mittlere Azimut, so daß man zusätzlich A anbringen muß:
A1 = A - (
A / 2)
und
A2 = A + (
A / 2) +- 180°
Die Formeln der 2. HA müßten nach L2-L1 etc. aufgelöst werden, was aber nicht vollständig möglich ist. Auf der rechten Seite bleibt immer ein Glied mit dem gesuchten Wert stehen.
Somit muß man, da man ja die Breite und Länge von P2 sucht, Näherungskoordinaten einführen und die Gleichungen iterativ lösen.
Eggert geht so ähnlich vor wie Schreiber, er überträgt also erst entlang des Meridians und dann senkrecht dazu. Allerdings wird jetzt zusätzlich ein Hilfspunkt PH eingeführt, der ebenfalls auf dem selben Meridian wie P1 liegt, der allerdings eine markante Breite hat - 51°, 51°30', 52° und so weiter.
Das Meridianbogenstück von P1 nach PH kann einfach ermittelt werden, da Meridianbögen vertafelt sind. Das Meridianbogenstück heiße xH. Bei Schreibe hatte man zunächst den Meridianabschnitt x ermittelt. Wenn man das auch hier tut und xH davon abzieht, bleibt als Reststück x übrig.
Nun kann man vom Punkt PH aus mit diesem Reststück und der sphärischen Ordinate y die Koordinaten nach Punkt 2 übertragen.
Wiederholung:
Wir haben:
- Geographische Koordinaten vom Punkt P1
- Azimut A1 und Länge der geodätischen Linie S zu Punkt P2
Wir wollen:
- Geographische Koordinaten vom Punkt P2
- Gegenazimut A2
Erster Schritt:
Berechnen von rechtwinklig-ellipsoidischen Koordinatenunterschieden x und y,
x entlang des Meridians von P1 und y senkrecht dazu.
Zweiter Schritt:
Berechnen der gesuchten Werte mit Hilfe von x und y
Was ist hier anders als bei Schreiber:
Man überträgt die Breite nicht mit Hilfe des ganzen x sondern zerlegt x in xH und x
(x = xH + ) und überträgt die Breite von PH aus, wozu man nur noch xx benötigt.
Hier folgt eine Herleitung, die nicht weiter interessant ist.
Konkrete Vorgehensweise:
a Berechnen des sphärischen Exzesses epsilon im Dreieck P1 - Pf - P2
(Pf ist der Fußpunkt der sphärischen Ordinate zu P2)
b Berechnen von x und y
(Beides unter Formel 9 in Gr. S. 110)
c Wählen eines Punktes PH, ermitteln des Meridianbogenstücks und Berechnen von x = x - xH
d Nachschauen in der Tafel VIII -> Mit Hilfe von x, y und der bekannten Breite von PH kann man Koeffizienten ermitteln, mit denen man Längenunterschied, Breitenunterschied und Meridiankonvergenz gamma ausrechnen kann.
e Berechnen des Gegenazimuts A2:
A2 = A1 + gamma - epsilon +- 180°
Gegeben: Geographische Koordinaten von P1 und P2
Gesucht: Azimute A1 und A2, Länge der geodätischen Linie S
Vorgehensweise:
a Wählen eines Hilfspunktes PH mit einer Breite möglichst zwischen P1 und P2,
Ermitteln des Breitenunterschieds zwischen P2 und PH -> phi2 - phiH =
phi
b Berechnen der Längendifferenz l = lambda2 - lambda1
c Mit phi und l kann man wiederum in eine entsprechende Tafel (VII) gehen und erhält
x, y und die Meridiankonvergenz gamma
d Mit einer Meridianbogentafel bestimmt man das Stück PPH = xH und kann damit x berechnen:
x = xH +
x
e Die Azimute A1 und A2 erhält man aus den Formeln Gr. S. 113 F 15/16
f Nun bleibt die Strecke S zu berechnen -> Gr. S. 113 Formel 17 oder 18
Gänzlich neuer Ansatz:
Bessel umschreibt dem Ellipsoid eine HILFSKUGEL mit dem Radius a (gr. Halbachse des Ellipsoids). Das ellipsoidische Poldreieck P1-N-P2 (Anfangspunkt-Nordpol-Endpunkt) wird in ein sphärisches Hilfsdreieck auf der Kugel überführt. Die ellipsoidischen Breiten der Endpunkte werden dabei umgewandelt in die reduzierten Breiten (s. 132).
Im sphärischen Hilfsdreieck werden die gesuchten Größen nach der sphärischen Trigonometrie berechnet und mit Hilfe "passender Differentialgleichungen" wieder in ellipsoidische Stücke umgerechnet. Kernstück der Berechnungen ist die Integration dieser Differentialgleichungen.
Alles furchtbar komplizierte Formeln, wahrscheinlich zählt der Grundgedanke.
Die tatsächliche Rechenlösung arbeitet vorwiegend mit Tafeln, zB für den Übergang von ellipsoidischer zu sphärischer Breite etc.
Wichtig: 1. Hauptaufgabe geht direkt, 2. nur iterativ.
(steht zwar nicht im Großmann, gehört aber hierher und ist relevant für die Prüfung!)
(siehe auch Skript [9.5],1!)
Grundgedanke:
Die Koordinatenübertragung auf dem Ellipsoid ist deshalb so schwierig, weil die Krümmungsverhältnisse sich in Abhängigkeit von der Breite ständig ändern. (phi kommt in der Formel für M bzw. N vor) Somit müßte man die Formeln von 421 integrieren, um an den Breiten-, Längen- und Azimutunterschied zu kommen, doch ist das nicht geschlossen möglich. Die Lösung von Kivioja geht nicht von einer Integration, sondern von einer Summation kleiner Breiten(...)unterschiede aus. Die Strecke S wird in 10, dann in 100, dann in 1000 usw. gleich lange Teile (S) geteilt, mit denen die Koordinaten von P2 berechnet werden. Man vergleicht die Ergebnisse, die man mit 10, 100, 1000 usw. Schritten erhält und hört auf, wenn sich die Koordinaten von P2 nicht mehr unterscheiden.
Rechenweg (nach den Formeln im Skript):
(1) Die Strecke S in 10 hoch n Teile teilen.
(2) Mit der Anfangsbreite phi1 mit den Formeln in 141 M1 und N1 berechnen, dann mit dem Azimut C1 berechnen.
(3) Jetzt berechnet man mit alpha1 und (S / 2) näherungsweise die Breite auf der Mitte des ersten Teilstücks, phi1/2*. Das tut man, um relativ genau das Azimut auf der Mitte des Teilstücks zu erhalten, da man das Ergebnis verfälschen würde, wenn man die Koordinaten des nächsten Punktes (P*) mit dem Anfangsazimut berechnen würde; das Azimut auf der Mitte ist somit ungefähr das mittlere Azimut zwischen den Punkten P1 und P*.
(4) Das Azimut alpha1/2* wird aus N1/2*, phi1/2* und C1 berechnet.
(5) und (6) Jetzt werden mit dem mittleren Azimut und dem Streckenstück S die Koordinaten auf dem Punkt P* übertragen.
(7) Berechnung von M*, N* und alpha* auf dem Punkt P* (aus phi*). Damit geht man wieder in die Formeln (3) und "hangelt" sich zum nächsten Punkt weiter und so weiter, bis man am Punkt P2 ist.
Dieses Verfahren wiederholt man mit der nächsthöheren Potenz von 10 und stoppt, wenn sich die Endpunktkoordinaten nicht mehr verändern (wenn zB der Millimeter erhalten bleibt).
Erfassen größerer Länder in geographischen Koordinatensystemen üblich (Karten) aber für Rechnungen problematisch -> Einführen spezieller rechtwinkliger Systeme, zB Soldner.
(Heute eher konforme GK-Abb.)
Grundgedanken:
Hauptmeridian, etwa Mitte des Gebietes, Länge L0. Koordinatenursprung ist Punkt auf dem Hauptmeridian mit Breite B0 -> Punkt P0
Ein Punkt P wird in diesem System folgendermaßen festgelegt:
Man legt durch P eine geodätische Linie, die den Hauptmeridian im Fußpunkt Pf rechtwinklig schneidet. Das Meridianbogenstück zwischen P0 und Pf ist die Abszisse, die geodätische Linie zwischen Pf und P ist die Ordinate.
Legt man nun durch P eine geodätische Parallele zum Hauptmeridian, so schließt diese mit dem Meridian durch P einen Winkel ein, der Meridiankonvergenz (gamma) genannt wird. (Gezählt vom Meridian aus im Uhrzeigersinn)
Es entstehen fünf Aufgaben:
- Berechnung rechtwinkliger Koordinaten aus geographischen
- und umgekehrt (52)
- geodätische Übertragung rechtwinkliger Koordinaten
- und umgekehrt (53)
- Transformation von Koordinaten in ein Nachbarsystem (54)
Dazu kommen die verschiedenen Reduktionen bei der Behandlung als kartesische Koordinaten (s. 27).
Erste Aufgabe: Gegeben sind die geographischen Koordinaten des Punktes P (B, L), gesucht sind Abszisse und Ordinate (ell. Soldnerkoordinaten) bezogen auf den Koordinatenursprung.
Zweite Aufgabe: andersrum, x und y sind gegeben, B und L gesucht.
Beide Aufgaben sind schon in 4521 und 4531 gelöst worden. Man bedient sich für die erste Aufgabe eines Hilfspunktes PH auf dem Hauptmeridian und rechnet Breiten- und Längenunterschiede nach Tafel VII in x und y um, addiert dann x zum Meridianbogenstück des Punktes PH und erhält x.
Die zweite Aufgabe vollzieht sich analog andersrum. (siehe 45)
B und l nach Reihen mit steigenden Potenzen von l
Hier legt man ebenfalls einen Hilfspunkt auf den Hauptmeridian, allerdings hat dieser keine "runde" Breite (521, 45) sondern die des umzurechnenden Punktes P. Jetzt rechnet man die Abszisse dieses Hilfspunktes mit Hilfe der Meridianbogentafel II aus und kann nach den Formeln (3) auf Seite 129 die Werte x, y und gamma allein in Abhängigkeit vom Längenunterschied l errechnen, da der Breitenunterschied zwischen dem Fußpunkt und P ja 0 geworden ist.
Hierfür gibt es auch Tafeln.
B, l und gamma aus x und y nach Reihen mit steigenden Potenzen von yHier rechnet man vom Fußpunkt Pf aus, dessen Breite man mit der Meridianbogentafel (II) ermitteln kann (siehe Bild 57 auf Seite 129). Nach den Formeln (5) auf Seite 130 erhält man alle gesuchten Größen in Abhängigkeit von y.
Gegeben: x1, y1, S, alpha1
Gesucht: x2, y2, alpha2
Ansätze nach steigenden Potenzen von S (Formeln (1) Seite 130);
Ergebnisse sind die Formeln (3) auf Seite 131
(Diese Problematik wurde schon vorher behandelt, deshalb erscheinen hier nur Ansätze und Resultate)
Gegeben: x1, y1, x2, y2
Gesucht: S, alpha1, alpha2
Der Ansatz ähnelt den Gaußschen Mittelbreitenformeln (44). Es wird formal ein Punkt auf der Mitte der Strecke S (P0) angenommen, zusätzlich ermittelt man einen Punkt mit den Mittelwerten der Koordinaten (xM, yM, alphaM) sowie die Koordinaten- und Azimutdifferenzen.
Zuletzt erhält man die Formeln (5) auf Seite 131, aus denen man die gesuchten Werte errechnen kann.
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Kommt später, Gauß-Krüger ist wichtiger!
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Das Abbildungsgesetz ist identisch mit dem aus 271: Y=y,
X=x.
Somit werden die ellipsoidischen Soldnerkoordinaten quasi wie ebene kartesische Koordinaten behandelt.
Die Berechnung der verschiedenen Reduktionen, die schon mal in 27
vorgenommen wurden, gelten hier analog, bloß daß hier mit dem Radius
der Gaußschen Schmiegungskugel an der betreffenden Stelle gerechnet wird.
Wenn alle Reduktionen angebracht sind, kann man die Koordinatenübertragung
mit ebenen Formeln durchführen.
(y2 = y1 + S * sin(t1) etc.)
Am besten selbst lesen (Seite 134), ist bloßer Fließtext historischer Art.
Es werden zwei Flächen aufeinander abgebildet (Mathe 3/4). Dabei hat die Urfläche die Parameterkurven u und v (im Falle des Erdellipsoids B und L), die Bildfläche die Parameter u_ und v_ (im Falle der Gauß-Abbildung Rechts- und Hochwert). Die Abbildung muß also diese Parameter ineinander überführen:
u_ = u_ (u,v)
v_ = v_ (u,v)
Man kann die Eigenschaften einer solchen Abbildung mit Hilfe der Flächenmetrik ermitteln. Dies baut auf auf die Gaußschen Fundamentalgrößen erster Ordnung E, F und G, die von den Ableitungen der Abbildungsgleichungen nach den Parametern abhängen.
Mit Hilfe von E, F und G kann man auch differentielle Bogenstückchen auf Ur- und Abbild berechnen.
(ds² = E * du² + 2 * F * du * dv + G * dv²
bzw.
ds_² = E * du_² + 2 * F * du_ * dv_ + G * dv_²)
Wenn nun eine Abbildung konform sein soll, so muß das Verhältnis von Ur- und Bildstrecke unabhängig sein vom Richtungswinkel der Strecke. Vom Ort darf es jedoch abhängen.
Dies ist dann der Fall, wenn die Verhältnisse der Fundamentalgrößen in Ur- und Abbild identisch sind:
E:F:G = E_:F_:G_
Außerdem müssen die Winkel zwischen Kurven bzw. zwischen Bogenelementen erhalten bleiben. (Formel Seite 138)
Bei geodätischen Abbildungen trifft man vorwiegend auf Orthogonalsysteme. Hier gilt:
F = 0
und
E = G
woraus folgt: ds² = E * (du² + dv²)
Das ganze ist ein System differentieller Quadrate, die Parameter werden ISOMETRISCHE oder THERMISCHE Parameter genannt, die Netze nennt man isometrische oder ISOTHERME Netze.
Die Gleichungen x = x(u,v), y = y(u,v) etc. legen nur die FORM der Parameterkurven fest. Man kann durch das Einführen von Ortsfunktionen von u und v den ABSTAND der Parameterkurven variieren lassen, so daß zwei nebeneinanderliegende Kurven nicht mehr den Abstand du bzw. dv sondern den Abstand (alpha(u) * du) bzw. (beta(v) * dv) haben. (zB u²*du)
Man erhält in diesem Fall ein Netz von differentiellen Quadraten, wenn die folgende Forderung erfüllt ist:
E * alpha²(u) = G * beta²(v) = lambda² (per Definition)
Somit ist E ungleich G, und das Netz ist dennoch isometrisch. lambda² ist die Dichte des Netzes, der Abstand der Parameterkurven und eine Funktion von u und v.
Führt man nun die Parameter U und V nach den Formeln (13) auf Seite 139 ein, so sind diese wiederum isotherme Parameter.
Hieraus folgt: Eine Fläche läßt sich konform auf eine andere abbilden, wenn auf beiden Flächen isotherme Netze definiert sind. Dafür muß entweder
E = G und F = 0
oder
E * alpha²(u) = G * beta²(v) und F = 0
gelten.
Das bekannteste Beispiel für den zweiten Fall ist das Netz von Meridianen und Parallelkreisen auf einer Drehfläche. (siehe 62)
Eine konforme Abbildung ist nach Gauß "ähnlich in den kleinsten Teilen". Das bedeutet, daß in der differentiellen Nachbarschaft eines abgebildeten Punktes P die Winkel zwischen beliebigen differentiellen Strecken, die von P ausgehen, gleich bleiben. (Das ganze System wird jedoch im Ganzen um die Meridiankonvergenz c gedreht!)
Diese differentiellen Strecken werden nur um einen gewissen Maßstab gedehnt oder gestaucht. Man kann also gewissermaßen von einer Drehstreckung sprechen. Eine Drehstreckung hat zwei Parameter, nämlich einen Winkel und einen Maßstab.
Hier wird wiederum von der komplexen Darstellung der Koordinaten ausgegangen. Für die abgebildeten Koordinaten gilt
z = x + iy;
für die isometrischen ellipsoidischen Koordinaten gilt
w = q + il.
Diese Koordinaten sind also ineinander mit Hilfe einer differentiellen Drehsteckung zu überführen. Um diese mathematisch bequem beschreiben zu können, muß man die komplexe Koordinatendarstellung zunächst von der kartesischen Darstellung in die Eulersche überführen.
Kartesisch: w = q + il
Polar: w = r(cos(phi) + i*sin(phi))
Euler: w = r * e hoch i*phi
(s. z. B. Repetitorium der höheren Mathematik Seite 93 - 96)
Man kann also die Koordinaten so ausdrücken, daß r als Maßstab davor steht und der Winkel phi im Exponenten auftaucht. Will man nun diese Koordinaten durch eine Drehstreckung abbilden, so muß man den Maßstab der Drehstreckung (r') dazumultiplizieren und den Winkel (phi') im Exponenten dazuaddieren, so daß die abgebildeten Koordinaten so aussehen:
z = r' * r * ei*(phi + phi')
Dies ist aber nichts anderes als
(r * ei*phi) * (r' * ei*phi').
Also muß der Koordinatenübergang durch eine Drehstreckung auch beschreibbar sein durch eine Multiplikation der komplex geschriebenen Koordinaten mit einer anderen Komplexen Zahl:
z = a * w
oder
(x + iy) = (alpha + i*beta) * (q + il)
(Formeln 16 Seite 140)
(Die Parameter alpha und beta bleiben in dieser Rechnung rein formal.)
Multipliziert man diese Gleichung aus, so erhält man nach Trennung der Veränderlichen
x = alpha * q - beta * l,
y = alpha * l + beta * q
im Differentiellen kommt man dann auf die Formel (18, die untere) auf Seite 140.
Zum Verständnis der folgenden Überlegung sollte man sich die Formeln (15) und (18, die untere) auf Seite 140 untereinanderschreiben. Durch direkte Gegenüberstellung und Vergleich erhält man nämlich
alpha = dx/dq = dy/dl;.
beta = dy/dl = -dx/dl
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (Formeln (19) auf Seite 141) gelten genau dann, wenn außer q und l auch x und y isometrische Parameter sind. Daß dies hier der Fall ist, kann man durch einsetzen von alpha und beta in die Formeln (19) ermitteln.
Durch Umformung der Formel (19) erhält man die Formel (21), die besagt, daß die Parameterlinien sich unter rechten Winkeln schneiden. Alle Funktionen, die die Differentialgleichungen (19) bis (21) erfüllen, stellen eine konforme Abbildung dar.
Hier wird bewiesen, daß sich das Vergrößerungsverhältnis unabhängig vom Richtungswinkel eines differentiellen Stückes ändert, wenn man mittels einer analytischen Funktion abbildet. Diese Funktion ist im Komplexen Raum definiert und hat die Form
x + iy = f ( q + il )
und
x - iy = f ( q - il )
Die Abbildung durch eine solche analytische Funktion erzeugt immer ein konformes Bild.
Das System der geographischen Koordinaten ist nicht isometrisch. Das erkennt man daran, daß für ein Bogenelement gilt:
dS² = M²dB² + N²cos²(B)*dl² --> E = M²; G = N²cos²(B) --> E ungleich G!
Anschaulich bedeutet dies, daß die "Vierecke" aus Meridian- und Breitenkreislinien zum Pol hin immer länglicher werden und sich damit immer mehr von der geforderten Quadratform entfernen.
Um trotzdem ein isometrisches System zu erhalten, paßt Gauß die differentiellen Breitenunterschiede dB den dazugehörigen Längenunterschieden dL an, indem er sie durch N*cos(B) teilt (siehe Seite 143 Formeln (2)). Dabei erhält er die ISOMETRISCHE BREITE q.
Nun ist E = G = N²cos²(B).
Da die Koordinaten in der Abbildung kartesisch sind (E_ = G_ = 1), sind sie ohnehin isometrisch.
Nun hat man die Aufgabe, die geographische Breite B in die isometrische Breite q umzurechnen, was mit Hilfe der Formel (10) auf Seite 144 möglich ist. (Warum (10) die Lösung sein soll und nicht schon (8), ist mir unklar)
Hier sind ein paar Reihen zur Umrechnung angegeben, ist aber nicht weiter interessant
Aufgabe: Geographisches System (B,l) KONFORM in die Ebene (x,y) abbilden;
Zwei Nebenbedingungen:
1. Hauptmeridian soll durch Gerade abgebildet werden
2. Diese Gerade soll längentreu sein.
Voraussetzung für konforme Abb. sind isometrische Koordinatensysteme in Ur- und Abbild (61). Ist in der Ebene der Fall, bei geographischen Koordinaten nicht. -> Einführen der isometrischen Breite q!
Somit hat man für jeden abzubildenden Punkt zunächst zwei Koordinaten:
q : isometrische Breite, gezählt vom Äquator aus;
l : Längenabstand vom Mittelmeridian (L0),
die auf die ebenen Koordinaten x und y mit Hilfe der analytischen Funktion F abzubilden sind:
x + iy = F(q + il)
(Man bedient sich komplexer Zahlen, weil man so die Abbildung im zweidimensionalen Raum mit einer einzigen Funktion ausdrücken kann.)
Nach der ersten Nebenbedingung (s. o.) muß gelten:
x = F(q) wenn l=0
und da der Meridianbogen längentreu abgebildet werden soll, muß ebenso gelten:
x = F(q) = G(B), wenn G die Länge des Meridianbogens bis zur Breite B ist, die q entspricht.
Die Funktion F bringt also "die Abhängigkeit des Meridianbogens von der isometrischen Breite zum Ausdruck". Man kann sie nur als elliptisches Integral II. Ordnung darstellen, allerdings kann man die Ableitung recht leicht bestimmen:
dx = N*cos(B)*dq
-> dx/dq = N*cos(B)
Damit kann man mit Hilfe einer Taylorreihe die Abbildungsgleichungen ermitteln.
Um sowohl in der Länge als auch in der Breite möglichst kleine Größen zu erhalten, führt man zunächst einen Hilfspunkt P0 mit der geographischen Breite B0 / der isometrischen Breite q0 ein. Also rechnet man mit der isometrischen Breitendifferenz q = q - q0 und mit der Längendifferenz l = L - L0 (s. o.).
Jetzt wird F (q + il) zu F (q0 + , was man in einer Taylorreihe entwickeln kann. q + il)
F(q) ist aber gleichzeitig G(B), und so ist F(q0) = G0, also das Meridianbogenstück bis zum Hilfspunkt P0, dessen Wert man in einer Meridianbogentafel nachschlagen kann. Der Wert G0 ist wiederum der x-Wert des Hilfspunktes P0, so daß man ihn aus der Reihe herausnehmen kann und nunmehr statt (x + iy) (x + iy) berechnet. Nach der Berechnung muß man also zu x wiederum G0 dazuzählen, um den x-Wert des zu berechnenden Punktes zu erhalten.
Die Taylorreihe lautet also:
x + iy = a1(q + il) + a2(q + il)² + a3(q + il)³ + ...
(siehe Formel (11) auf Seite 149)
Die Koeffizienten a(n) (a1, a2, a3 etc.) sind nach Taylor die n-te Ableitung von G nach q, dividiert durch n! (n Fakultät). Die ersten fünf Koeffizienten sind in den Formeln (12) auf Seite 149 angegeben.
Jetzt kommt der eigentliche Grundgedanke der Geschichte:
Komplexe Zahlen. i²=-1. Was passiert nun, wenn man die unterschiedlichen Potenzen von (q + il) ausmultipliziert? Man enthält positive und negative relle sowie positive und negative imaginäre Glieder (+ ...*i ; - ...*i). Die TRENNUNG VON REAL- UND IMAGINÄRTEIL besteht nun darin, nach Gliedern "mit i" und Gliedern "ohne i" zu sortieren und diese auf die rechten Seiten zweier Gleichungen zu schreiben:
iy = (alle imaginären Glieder)
Diese Formeln kann man noch vereinfachen: Man wählt als Hilfspunkt jetzt nicht den Punkt P0 sondern DEN Punkt auf dem Hauptmeridian, der dieselbe Breite hat wie der umzuformende Punkt P. Sämtliche Koeffizienten aus den Gleichungen (12) müssen dann mit der Breite B berechnet werden. Die Formeln hängen nun, da q = 0 ist, zunächst nur noch von l ab, allerdings geht die Breite ja in die Koeffizienten ein, so daß sowohl x als auch y von B UND l abhängen. (Nicht direkt von q! Man muß also q nicht explizit ausrechnen!)
Wenn man nun noch x statt x berechnen will, muß man in der x-Gleichung beidseitig G addieren, und man kommt zu den Formeln (14) auf Seite 149. Zum Glück gibt es aber auch hierfür Tafeln...
Hier benötigt man genau die Umkehrung:
q + il = f (x + iy)
Auf dem Mittelmeridian gilt
q = f(x) ; da l = 0
anders: q = f(G)
Somit drückt die (ebenfalls analytische) Funktion f das Verhältnis der isometrischen Breite q zum Meridianbogenstück G aus, und ihre Ableitung ist dq/dG. Jetzt kann man wieder eine Taylorreihe aufstellen und erhält die Koeffizienten in (19) auf Seite 150.
Auch hier wird die Entwicklung an einem anderen Punkt angesetzt, nämlich im Fußpunkt der Ordinate auf dem Hauptmeridian. Dann wird x = 0, und nach Trennung der reellen und imaginären Teile erhält man die Gleichungen (20), die zunächst nur von y abhängen, in den Koeffizienten jedoch von der Breite abhängen, die nun die Breite des Fußpunktes ist, die man ja wieder über die Meridianbogentafel erhält (diesmal andersrum).
Die Formeln sehen also so aus:
q = ...
l = ...
Gesucht ist aber nicht die isometrische Breite q, sondern die geographische, B. Somit muß man die Umrechnung zwischen beiden berücksichtigen und erhält schließlich die Gleichungen (23) auf Seite 151.
Zunächst folgt das ganze allgemein für alle konformen Abbildungen, danach wird's konkreter für die Gauß-Abbildung, und zwar sowohl für die Berechnung der Meridiankonvergenz aus geographischen wie aus Gaußschen Koordinaten.
Man stelle sich einen Punkt P irgendwo abseits des Hauptmeridians vor. Durch diesen Punkt gehen zwei Linien, der Meridian, auf dem der Punkt liegt, und die Parallele zum Hauptmeridian, die die Punkte gleicher y-Koordinate miteinander verbindet.
Diese beiden Linien sind nicht identisch (nur auf dem Hauptmeridian) und schließen einen Winkel ein, die Meridiankonvergenz c.
Nach dem Bild 65 auf Seite 151 ist tan c = dx/dy.
Hierauf kann man wiederum die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (61) anwenden und erhält die zunächst noch allgemeine Formel (6) auf Seite 152
Nun kann man für die partiellen Ableitungen dx/dl und dy/dl konkrete Ausdrücke (63) einsetzen und erhält schließlich die Formel für die ebene Gaußsche Meridiankonvergenz, Formel (7). Vergleicht man die Ergebnisse mit denen der ellipsoidischen Meridiankonvergenz gamma (52), so ergeben sich äußerst geringe Abweichungen.
Verläuft entsprechend, das Ergebnis ist Formel (9) auf Seite 153
Hier gab es schon mal was Allgemeines in 61, jetzt wird wiederum spezialisiert, wie bereits in 641 wird aus geographischen und Gaußschen Koordinaten berechnet.
Man stützt sich hier auf die Formel m² = E_ / E, die sich auf die Gaußschen Fundamentalgrößen gründet. Es war ja E = N²cos²(B) und E_ = 1.
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Hier folgt eine Menge über den Zusammenhang zwischen m und c...
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Hier werden die Ergebnisse von 6411 mit den bereits bekannten Differentialquotienten zusammengebracht, und man kommt auf Formel (24) auf Seite 155
Das ganze mündet schließlich in Formel (28), Seite 157.
Am ehesten ist dabei wichtig, daß der Maßstab mit dem Quadrat der Ordinate wächst.
Da der Maßstab mit der Ordinate wächst, ist es u.U. zweckmäßig, ihn von vornherein etwas kleiner zu gestalten. Das bedeutet, der Hauptmeridian wird zwar längentreu, allerdings etwas verkürzt abgebildet, so daß gilt F(q) = m0 * G.
Man tut das am besten so, daß der Maßstab am Hauptmeridian um denselben Betrag zu klein ist, wie er am Rand des Systems zu groß ist.
In 63 und 64 wurde der Übergang von
geographischen zu Gaußschen Koordinaten durch Formeln geschaffen, in denen
nur eine Koordinate als Veränderliche auftrat; die jeweils andere steckte
in den Koeffizienten. Somit müßte man diese Koeffizienten für
jeden Punkt neu berechnen oder evtl. aus Tafeln entnehmen, was auf jeden Fall
massig Arbeit wäre.
Bequemer ist es, feste Koeffizienten zu verwenden und dafür mit zwei Veränderlichen in die Formeln zu gehen. (Ähnlich den Eggertschen Potenzreihen in 45)
x und y aus B und l
Die Ausgangsgleichung für die Potenzreihen stammt aus 63:
x + iy = a1(q + il) + a2(q + il)² + a3(q + il)³ + ...
Man tut jetzt nichts anderes als diese ganzen unterschiedlichen Potenzen von ( auszumultiplizieren, und erhält gemischte Ausdrücke mit reellen und imaginären Summanden (siehe Formeln (1) auf Seite 158). Diese trennt man wiederum in reell und imaginär und findet Formeln für q + il)x und y, die sowohl von q als auch von l abhängen. Da man aber mit B in die Formeln gehen möchte und nicht mit q, muß man für die verschiedenen Potenzen von q wiederum Reihenentwicklungen verwenden (siehe Formeln (3) auf Seite 158) und mit diesen in den Potenzreihen q ersetzen. Man stellt ein bißchen um und sortiert nach Potenzen und erhält schließlich die Formeln (4) auf Seite 159, in denen die Koeffizienten so indiziert sind, daß der erste Index der Potenz von B, der zweite der Potenz von l entspricht. Diese Koeffizienten hängen jetzt nicht mehr von B oder l ab sondern nur noch von Ellipsoidparametern und der Breite B0 des Hilfspunktes P0. Diese Koeffizienten findet man in Tafel X.
B und l aus x und y
Hier geht man genau umgekehrt vor. Ausgehend von
q + il = b1(x + iy) + b2(x + iy)² + b3(x + iy)³ + ...
erhält man durch Ausmultiplizieren und Trennen Formeln für q und l, die von x und y abhängen. Nun muß man noch von q zu B kommen, wofür wiederum Potenzreihen nötig sind, die in die Formeln eingesetzt werden. Man faßt wieder nach Potenzen zusammen und erhält die Formeln (6) auf Seite 160, in denen wieder Koeffizienten mit zwei Indizes stehen (siehe oben). Diese Koeffizienten sind Tafel XI zu finden.
B und l
Man stelle sich zwei Punkte vor, die beiderseits des Hauptmeridians liegen, so daß man sich den Hauptmeridian als Symmetrieachse vorstellen kann. In diesen beiden Punkten herrscht dasselbe Vergrößerungsverhältnis m, und die Meridiankonvergenzen unterscheiden sich nur in ihrem Vorzeichen (c ist östlich des Hauptmeridians positiv, westlich davon negativ).
Somit müssen die Reihen für c dem Aufbau nach denen für l bzw. y entsprechen (warum???), die Reihen für (m-1) denen für B bzw. x. Da (m-1) auf dem Hauptmeridian verschwindet, müssen in den entsprechenden Reihen die Glieder zu null werden, in denen B bzw. x oder deren Potenzen isoliert vorkommen.
Letztendlich ergeben sich die Reihen wie auf Seite 161 unten (Formeln (8) und (9)), die Koeffizienten sind in Tafel X zu finden.
x und yFormeln siehe (11) und (12) auf Seite 162, Koeffizienten findet man in Tafel XI.
Wegen des wachsenden Vergrößerungsverhältnisses abseits des Hauptmeridians beschränkt man Gauß-Krüger-Systeme auf Streifen von höchstens 6° Breite, die sich überlappen.
Deutschland:
Seit 1923 GK-Systeme auf Bessel-Ellipsoid; 3° breite Streifen, Hauptmeridiane sind 3°, 6°, 9° etc.; die Streifen überlappen sich um 20' (entspricht etwa 23 Kilometern); Abszissen heißen Hochwerte, Ordinaten heißen Rechtswerte und erhalten einen Zuschlag von 500000 Metern, um negative Vorzeichen zu vermeiden; vor den Ordinatenwert kommt eine Kennziffer = Länge des Hauptmeridians / 3.
UdSSR:
Ellipsoid von Krassowski; 3° und 6°-Streifen, 3° für regionale Zwecke, jeder 6°-Streifen entspricht einem Blatt der IWK 1:1000000; ebenfalls Zuschläge auf die Ordinaten; Kennziffern = (Länge Mittelmeridian + 3°) / 6.
USA:
UTM-System; Internationales Ellipsoid von 1924; Mittelmeridian mit Faktor 0,9996 gestaucht; 6°-Streifen, Zählung beginnt bei 1 im Streifen 180°-174° West, endet bei 174°-180° Ost mit 60; das UTM-System ist durch die 80. Breitengrade (Nord und Süd) begrenzt.
Kann man sich mal durchlesen, ist aber wohl nicht so arg wichtig.
Wegen mangelnder Prüfungsrelevanz weggelassen.
Gegeben: Gauß-Krüger-Koordinaten von P1 (x1, y1), Richtungswinkel T1, Strecke S
Gesucht: Gauß-Krüger-Koordinaten von P2 (x2, y2), Richtungswinkel T2
Grundlage der Berechnungen sind wiederum Taylor-Entwicklungen, wie schon in 42 und 54. Allerdings verwendet man auch hier eine komplexe Darstellung (z = x + iy). Man stellt zwei Reihen auf, eine für z2 (= x2 + i*y2), eine für T2. Somit benötigt man die ersten und höheren Ableitungen dz/dS und dT/dS (siehe Formeln (1) und (2) auf Seite 169), die im Folgenden hergeleitet werden (bis Seite 172). Zuletzt erhält man die Formeln (25) auf Seite 173, für die zu beachten ist:
u = S * cos(T);.
v = S * sin(T)
(Die Schwierigkeiten bei diesen Berechnungen liegen darin, daß das Maßstabsverhältnis eine große Rolle spielt, und das ist ja ortsabhängig und läßt sich auch nur durch Reihen ausdrücken. So werden die Ableitungen recht lang und kompliziert)
Hier geht man vor wie in 44, wo es um die Lösung der
zweiten Hauptaufgabe mit der Gaußschen Mittelbreitenformel ging. Man bildet
also die Mittelwerte und erhält durch Subtraktion zweier Gleichungen einfachere
Reihen für z2-z1 sowie für T2-T1 plusminus 180° (Formeln (28)
Seite 173).
Letztendlich erhält man die Formeln (51) auf Seite 176.
Würde man die geodätische Linie zwischen zwei beliebigen Punkten nach Gauß in die Ebene abbilden, so ergäbe sie (in den allermeisten Fällen) keine gerade Linie. Aus Bild 67 (Seite 178) kann man folgern, daß deswegen weder der Richtungswinkel noch die Strecke in Ur- und Abbild übereinstimmen. Man muß also REDUKTIONEN anbringen, um ellipsoidische und Abbildungs-Größen ineinander umrechnen zu können.
Dabei heißen
T-t : Richtungsreduktion (Ellipsoidischer Richtungswinkel minus Richtungswinkel der geraden Verbindung);
S-s : Streckenreduktion (Länge der geodätischen Linie minus Länge der geraden Verbindung zwischen den zwei Punkten)
Beide hängen logischerweise von den Koordinaten BEIDER Punkte ab.
Letztendlich landet man bei den Formeln (9) auf Seite 180, wobei hier genau auf die Indizes zu achten ist! (1 für Anfangspunkt, 2 für Endpunkt)
Ergebnis sind die Formeln (13) bzw. (13a) auf Seite 181. Auch hierfür gibt es irgendwo Tafeln, allerdings nicht im Großmann.
Man hat zwei benachbarte Systeme mit den Hauptmeridianen L (im Westen) und L' (im Osten). Zu transformieren ist ein Punkt P, der im Westsystem die Koordinaten x und y, im Ostsystem die Koordinaten x' und y' hat. Dabei sind x und y bekannt und x' und y' gesucht. Auch die Transformation kann durch eine analytische Funktion f ausgedrückt werden, und wenn man die Koordinaten wieder komplex auffaßt
(z = x + iy;
z' = x' + iy'),
kann man die Transformation zunächst so formulieren:
z' = f(z).
Zumeist transformiert man Punkte, die recht nahe am Grenzmeridian (mit der Länge L0) liegen. Es ist daher sinnvoll, einen Hilfspunkt P0 AUF dem Grenzmeridian zu benutzen, dessen Länge L0 genau dem Mittelwert zwischen L und L' entspricht. Die Koordinaten x0 und y0 dieses Punktes sowie die Meridiankonvergenzen c und c' in beiden Systemen sind bekannt, ebenso die Längenunterschiede (l0 und l0'). Dabei gilt:
x0' = x0 : Der Hilfspunkt hat in beiden Systemen denselben Hochwert (siehe Bild 68 Seite 184);
y0' = -y0 : Die Rechtswerte des Hilfspunktes unterscheiden sich nur im Vorzeichen;
c0' = -c0 : ebenso die Meridiankonvergenzen
l0' = -l0 : und die Längenunterschiede.
Die Koordinaten des Hilfspunktes P0 kann man wiederum komplex ausdrücken: z0 = x0 + iy0
Man bezieht den zu transformierenden Punkt P jetzt auf den Hilfspunkt P0 und erhält die Koordinatendifferenzen
x - x0 und y - y0, komplex zusammengefaßt durch z - z0;
x' - x0' und y' - y0', komplex zusammengefaßt durch z' - z0'.
Somit reduziert sich die Transformation auf die Transformation der Koordinatendifferenzen:
z' - z0' = f (z - z0),
die man mit Hilfe einer Taylorentwicklung im Punkt P0 ausdrücken kann. Nach viel Rechnerei erhält man schließlich die Formeln (16) auf Seite 187, die formal so aussehen:
y' = f2 (x, y)
wobei x und y in unterschiedlichen Potenzen und Kombinationen vorkommen.
Hier werden Koeffizienten zusammengefaßt, so daß sich die Rechnung vereinfacht. Die Koeffizienten kn sind wiederum vertafelt. (Tafel XII) Man beachte, daß man zunächst nur KoordinatenDIFFERENZEN erhält, zu denen man x0' bzw. y0' addieren muß, um absolute Koordinaten im Nachbarsystem zu erhalten. (Siehe Formeln (21) auf Seite 188)
Ist nicht direkt möglich, da Soldnersysteme ja nicht isometrisch sind. Man verwendet folgenden Umweg:
Man verlängert die Soldner-Ordinaten um y³/(6R²) und erhält Gaußsche Koordinaten, jedoch in einem System mit dem Soldner-Mittelmeridian als Hauptmeridian und dem Soldner-Ursprung als Nullpunkt. Nun kann man von diesem Pseudo-Gauß-System ins nächstgelegene Gaußsystem mit Hilfe der Formeln in 691 und 692 transformieren.
Die Transformation in anderer Richtung erfolgt genau umgekehrt. Zunächst transformiert man nach 691 und 692 in das System des Soldner-Hauptmeridians und verkürzt dann die Ordinaten um y³/(6R²).
Nicht so interessant...